Théorie de l'intégration : cours et exercices - licence et master de mathématiques

   

Avant-propos  :

 

Ce livre, issu d'un cours d'intégration dispensé durant plusieurs années en
Licence de Mathématiques à l'Université Paris XII Val de Marne puis à l'Université
Paris VI Pierre & Marie Curie, est prioritairement destiné aux étudiants achevant
leur parcours de Licence (L3) ou entamant un parcours de Master (Ml)
spécialisé en Mathématiques. À un premier niveau de lecture, nous y exposons les bases
indispensables de la théorie de Lebesgue et ses premières applications. Les
connaissances requises à l'usage de cet ouvrage sont celles d'un étudiant issu de seconde
année (L2, ex-DEUG MIAS(1)). 

En outre, nous avons souhaité que le lecteur puisse y trouver matière à référence
au-delà de la licence, en maîtrise, pour l'agrégation, voire en troisième cycle. C'est
dans cette optique que nous avons complété ce premier niveau de lecture par la
démonstration détaillée des grands théorèmes classiques de la théorie (construction
de la mesure de Lebesgue, théorèmes de Riesz, de Lusin, etc). Parallèlement,
nous avons mis l'accent, à travers de nombreuses applications, sur la puissance de
l'intégrale de Lebesgue dans tous les problèmes mettant en jeu des interversions
des symboles d'intégrale et de limite. Chaque chapitre s'achève par une section
d'exercices, mêlant des énoncés de simple manipulation des définitions et des é-
noncés plus ambitieux. Pour la plupart des exercices, le lecteur peut s'appuyer sur
des indications regroupées en fin de volume. 

La théorie de l'intégration peut être abordée naturellement sous deux angles
très différents : la présentation fonctionnelle, issue de Bourbaki, qui prolonge
l'intégrale de Riemann via le théorème de représentation de Riesz, et l'approche
abstraite, qui s'appuie directement sur la notion de mesure positive. Nous avons
choisi la seconde voie, non seulement pour son caractère (paradoxalement) plus
concret, mais aussi parce qu'elle permet l'introduction naturelle des probabilités
et de la statistique. La contrepartie pour les futurs "analystes" est sans doute de
longs développements sur la mesurabilité. Quoi qu'il en soit, il nous semble que
la mesure abstraite reste la plus accessible des deux approches pour les étudiants
d'aujourd'hui, sans doute par son caractère moins topologique. 

L'ouvrage est divisé en trois parties : rappels et préliminaires, théorie de la
mesure et théorie de l'intégration. 

- La partie I, rappels et préliminaires, après un bref retour sur l'intégrale
élémentaire qui permettra de mettre en perspective les atouts décisifs de la
théorie de Lebesgue, est essentiellement consacrée à quelques éléments de théorie des
cardinaux et de topologie. La notion de dénombrabilité, au cœur de l'approche
de Borel et Lebesgue, est notoirement mal connue des étudiants de premier cycle. 

L'occasion leur est donnée de faire le point sur cette question. Les "rappels" de
topologie mêlent quelques développements sur les notions de base déjà vues en cours
de structures métriques à des points plus techniques - la séparabilité notamment
- qui se révéleront indispensables à la suite de notre propos. 

- La partie II, théorie de la mesure, bâtit les fondations de la théorie de
l'intégration : tribus, fonctions mesurables, mesures positives. Un accent tout 
particulier est mis sur la mesure de Lebesgue. Plusieurs voies d'approfondissement
sont développées : le théorème de Carathéodory et la construction des mesures de
Lebesgue et Stieltjes sur la droite réelle ; la régularité des mesures sur des espaces
localement compacts ou séparables complets. 

- La partie III, théorie de l'intégration, débute par la construction de l'intégrale
au sens de Lebesgue. On enchaîne par les trois théorèmes classiques (Beppo Levi,
Fatou, Lebesgue) et les outils d'étude des intégrales dépendant d'un paramètre
(continuité et dérivation ponctuelle sous le signe somme). Les espaces Lp et les
théorèmes de densité - dont le théorème de Lusin - sont développés ensuite, puis
viennent la mesure produit, les théorèmes de Fubini et le théorème de changement
de variables ainsi que leurs applications au calcul d'intégrales multiples. La convo-
lution sur Rd et ses applications font l'objet de l'avant-dernier chapitre. L'ouvrage
s'achève sur la notion de complétion de mesure et sur ses conséquences, en 
particulier le théorème de Fubini-Lebesgue. 

Signalons qu'en guise d'introduction historique, la partie II débute par la 
reproduction intégrale du texte de la Note aux Comptes-rendus de l'Académie des
Sciences de Paris d'Henri Lebesgue parue en 1901 intitulée "Sur une généralisation
de l'intégrale définie". Il y présente en 4 feuillets d'une puissance et d'une beauté
mathématique saisissantes les principes fondateurs et les premiers résultats de sa
théorie. 

Les parties dont le titre est précédé du symbole £, correspondent à des 
compléments ou des approfondissements et peuvent être passées en première lecture. De
même, certaines applications s'éloignant par trop du cœur de notre propos ou
s'apparentant à des exercices corrigés ont été transcrits en plus petits caractères.
Une table des matières détaillée et un index concluent l'ouvrage.
Pour une large part, notre goût commun pour l'intégration nous a été transmis
par nos professeurs, J. Deny et O. Kavian. Cet ouvrage leur doit beaucoup.
Les judicieux conseils et les encouragements de P.G. Ciarlet nous ont également
été précieux. 

Si toutes les erreurs sont les nôtres, plusieurs personnes ont contribué à en
diminuer le nombre : Orner Adelman, Marie-Dominique de Cayeux, Yannick Ba-
raud, Fabienne Comte, François James, Laurence Marsalle, Jacques Roubaud,
Emmanuel Roy, Dominique Simpelaere. Qu'elles en soient ici remerciées.

Title : Théorie de l'intégration : cours et exercices - licence et master de mathématiques

author(s) : Briane, Marc; Pagès, Gilles

size : 2.9 Mb

file type : djvu