L'Algèbre Linéaire a une place spéciale parmi les disciplines enseignées en premier cycle d'Université. D'une part parce que, étant utilisée pratiquement dans toutes les branches scientifiques, sa connaissance fait partie du bagage indispensable au futur chercheur, ingénieur ou agrégatif. D'autre part parce que l'algèbre et la géométrie se mêlent constamment, l'imagination est sans cesse sollicitée et, de ce fait, elle est très utile à la formation de l'esprit mathématique.
Malheureusement les programmes actuels de l'enseignement dans le secondaire ne comportent presque plus d'Algèbre Linéaire. N'ayant ni le recul, ni le langage de base, les étudiants abordent souvent cette discipline d'une manière abstraite et formelle : il s'ensuit un décalage entre le niveau requis et les résultats atteints, décalage que tout enseignant a pu constater ces dernières années.
Dans cet ouvrage, fruit d'une expérience de plusieurs années d'enseignement de l'Algèbre Linéaire en premier cycle d'Université, j'ai essayé de combler cette lacune. Je me suis efforcé de présenter les différentes notions en mettant en évidence leur raison d'être et leur intérêt, en soulignant leur signification géométrique et en illustrant chaque notion et chaque énoncé par des exemples et des exercices résolus.
J'ai évité, cependant, les originalités. En particulier, le plan est des plus classiques, avec une seule exception : les espaces euclidiens et les espaces hermitiens sont traités avant les formes quadratiques et les formes hermitiennes, contrairement à ce qui est fait dans la plupart des manuels. L'expérience montre que, malgré les redites, ces parties du cours sont beaucoup mieux comprises.
J'ai aussi essayé d'aller à l'essentiel. Pratiquement toute l'algèbre linéaire est contenue dans le cadre où le corps des scalaires est M ou C. Non pas que l'algèbre linéaire sur les corps finis, par exemple, ne soit pas intéressante, mais elle n'est pas essentielle à la compréhension profonde de la théorie. C'est pourquoi j'ai relégué en appendice tout le bagage sur l'algèbre générale (notions de groupes, anneaux, corps, polynômes formels, quotients, etc) qui souvent assomme l'étudiant en début d'année. Ici aussi l'expérience prouve que, lors une seconde lecture, celui qui a déjà assimilé la substance, le mécanisme et la vision géométrique de l'algèbre linéaire sur R ou C passe sans difficultés à l'algèbre linéaire sur les corps plus généraux. Cependant toutes les définitions et les énoncés sont donnés pour un corps quelconque de manière à ce que l'exposé ne souffre pas de cette restriction.
Malheureusement les programmes actuels de l'enseignement dans le secondaire ne comportent presque plus d'Algèbre Linéaire. N'ayant ni le recul, ni le langage de base, les étudiants abordent souvent cette discipline d'une manière abstraite et formelle : il s'ensuit un décalage entre le niveau requis et les résultats atteints, décalage que tout enseignant a pu constater ces dernières années.
Dans cet ouvrage, fruit d'une expérience de plusieurs années d'enseignement de l'Algèbre Linéaire en premier cycle d'Université, j'ai essayé de combler cette lacune. Je me suis efforcé de présenter les différentes notions en mettant en évidence leur raison d'être et leur intérêt, en soulignant leur signification géométrique et en illustrant chaque notion et chaque énoncé par des exemples et des exercices résolus.
J'ai évité, cependant, les originalités. En particulier, le plan est des plus classiques, avec une seule exception : les espaces euclidiens et les espaces hermitiens sont traités avant les formes quadratiques et les formes hermitiennes, contrairement à ce qui est fait dans la plupart des manuels. L'expérience montre que, malgré les redites, ces parties du cours sont beaucoup mieux comprises.
J'ai aussi essayé d'aller à l'essentiel. Pratiquement toute l'algèbre linéaire est contenue dans le cadre où le corps des scalaires est M ou C. Non pas que l'algèbre linéaire sur les corps finis, par exemple, ne soit pas intéressante, mais elle n'est pas essentielle à la compréhension profonde de la théorie. C'est pourquoi j'ai relégué en appendice tout le bagage sur l'algèbre générale (notions de groupes, anneaux, corps, polynômes formels, quotients, etc) qui souvent assomme l'étudiant en début d'année. Ici aussi l'expérience prouve que, lors une seconde lecture, celui qui a déjà assimilé la substance, le mécanisme et la vision géométrique de l'algèbre linéaire sur R ou C passe sans difficultés à l'algèbre linéaire sur les corps plus généraux. Cependant toutes les définitions et les énoncés sont donnés pour un corps quelconque de manière à ce que l'exposé ne souffre pas de cette restriction.
Les appendices jouent d'ailleurs un rôle important dans le plan de cet ouvrage. J'ai voulu éviter un livre trop dense, une sorte d'encyclopédie de résultats, où l'étudiant a du mal à dégager ce qui est essentiel et ce qui est secondaire. Aussi les différents chapitres sont consacrés à la compréhension de ce qui est essentiel à la théorie, alors que les résultats annexes et les compléments sont traités en Appendice. Par ailleurs les appendices peuvent servir efficacement à ouvrir l'esprit sur le vaste champ auquel l'algèbre linéaire est appliquée. Pour ne citer qu'un exemple, j'ai renvoyé en appendice l'exponentielle des matrices, non seulement parce que son introduction dans le cours de base n'est pas vraiment essentielle, mais aussi parce que l'on peut ainsi mieux mettre en évidence l'importance et l'intérêt que cette notion présente, par exemple pour les systèmes dynamiques, voire les algèbres de Lie et les groupes continus de transformations. Dans ce même esprit j'ai traité dans les appendices certains thèmes que l'on aborde en général en dernière année de Licence ou en Master, comme les inverses généralisées, la méthode des moindres carrés, les méthodes directes de calcul numérique, les espaces affines, les systèmes dynamiques. Il ne s'agit pas évidemment d'exposés complets, mais d'introductions, qui, je l'espère, éveilleront la curiosité et l'intérêt du lecteur.
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Title : Algèbre linéaire
author(s) : Joseph Grifone
size : 3.7 Mb
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