En 1855, Bernhard Riemann n'a pas 30 ans. C'est l'année de la mort de son père. Période noire puisqu'il perd son frère deux ans plus tard. Il doit s'occuper seul de ses quatre sœurs. Les fins de mois sont très difficiles. Il sombre dans la dépression. Sa santé se dégrade de jour en jour.
Il fait ses valises pour l'Italie, où il pense trouver un climat moins hostile que celui de Gôttingen où il réside. Mais rien n'y fait, il décède d'une tuberculose à Selasca, le 20 juillet 1866. Il a à peine 40 ans. Cependant, il laisse derrière lui une œuvre mathématique d'une profondeur inouïe.
Tout souriait pourtant à Bernhard Riemann. Il voit le jour le 17 septembre 1826 à Hanovre. Il intègre le lycée, étudie l'hébreu et la théologie, tout en portant un regard passionné sur les mathématiques. Le directeur de l'établissement met à sa disposition sa bibliothèque personnelle de livres de mathématiques. Bernhard Riemann en profite pour lire l'œuvre de Legendre en théorie des nombres, 900 pages qu'il achève en... six jours seulement ! Au printemps 1846, il s'inscrit à l'Université de Gôttingen. Bien que son père l'encourage à étudier la théologie - il était pasteur - Riemann suit des cours de mathématiques.
Il entre ensuite à l'Université de Berlin au printemps 1847, côtoie Steiner, Jacobi, Dirichlet et Eisenstein. Il apprend d'ailleurs énormément de ce dernier. Avant de revenir à Gôttingen en 1849.
En 1851 il soutient sa thèse sous la direction de Gauss. Ses travaux portent alors essentiellement sur la théorie des fonctions d'une variable complexe.
Il en profite pour donner également la définition de ce que l'on appelle aujourd'hui les « surfaces de Riemann ». Quelques années après, il soutient son habilitation sur la représentation des fonctions par des séries trigonométriques. Il est ainsi conduit à travailler sur la théorie de l'intégration. Il se rend compte qu'il doit repenser le travail de Cauchy, qui avait introduit la notion d'intégrale définie. Il déduit de ses réflexions qu'il faut modifier cette théorie pour pouvoir intégrer des fonctions de plus en plus irrégulières. Ainsi naît la célèbre et incontournable « Intégrale de Riemann ». Dans l'un de ses exposés, il lance aussi les bases de la géométrie rie-mannienne.
Mais les ennuis de santé commencent à le hanter. Malgré tout, il obtient la chaire de mathématiques de Gôttingen à la place de Dirichlet. Il est élu la même année, en 1859, à l'Académie des Sciences de Berlin. Trois ans plus tard, il se marie et de cette union naîtra une fille. Et tout s'effondre, à 40 ans !
Title : Intégration, calcul des primitives - Exercices corrigés avec rappels de cours
author(s) : Jean-Jacques COLIN, Jean-Marie MORVAN, Rémi MORVAN
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