Ce livre s'adresse aux étudiants de mathématiques fondamentales qui désirent approfondir leurs connaissances dans ce vaste domaine des mathématiques qu'est l'algèbre. Nous supposons qu'ils savent utiliser le langage des ensembles et ont déjà acquis les éléments de base de l'arithmétique des nombres entiers et de l'algèbre linéaire. Une liste plus précise des prérequis figure ci-après.
Dans ses grandes lignes, le programme d'un tel livre est à peu près fixé: il doit nécessairement couvrir les notions de groupe, d'anneau et de corps et peut-être celle de module. En revanche, la manière dont on les envisage peut différer. Le temps n'est plus où l'on pouvait enseigner les structures de l'algèbre, comme dans le livre Algèbre de S. Lang[15] par exemple, et espérer que les étudiants y trouveront de l'intérêt, laissant à plus tard, c'est-à-dire pour beaucoup à jamais, la question de l'utilité des concepts introduits. Notre sentiment est qu'il faut enseigner la théorie générale avec, pour chaque partie, un objectif précis de son application. Les exemples se doivent d'abonder dans le texte, d'être traités en détail, d'illustrer la théorie et d'en montrer la pertinence. Les choix que cela implique sont en partie subjectifs et dépendent des goûts des auteurs.
Nous exposons ci-dessous ceux qui sont les nôtres. Pour la théorie des groupes, le but à atteindre est celui de la compréhension des groupes de la géométrie classique (groupes diédraux, groupes des rotations et des symétries des polygones réguliers, groupes de déplacements de l'espace euclidien). Cette approche nécessite l'introduction du produit semi-direct qui est au cœur de la structure de ces groupes. L'étude des groupes de matrices, en particulier celle des groupes classiques orthogonaux et unitaires, permet de faire le lien avec l'algèbre linéaire. Une petite incursion dans la théorie des groupes topologiques (p. ex. connexité par arcs de SOn (IR)) est également proposée.
La théorie des anneaux (commutatifs) est axée sur l'arithmétique: éléments premiers et irréductibles, questions de factorialité. Nous nous proposons de donner de nombreux exemples de sous-anneaux de C qui illustrent ces notions et de montrer dans quelle mesure l'arithmétique des nombres entiers se généralise à ceux-ci. Le cas important des anneaux de polynômes est également considéré en détail. La théorie des corps (commutatifs) traite des propriétés élémentaires des extensions: degré, éléments algébriques et transcendants, classification des extensions simples. La principale application est la non-résolution des trois problèmes de géométrie classique : quadrature du cercle, tri section de l'angle et duplication du cube.
Les notions évoqués ci-dessus forment le « noyau dur » d'une introduction à l'algèbre et leur connaissance nous paraît indispensable à tout mathématicien. Celles qui sont traitées par la suite, théorie de Galois et théorie des modules, même si elles n'appartiennent pas au socle de connaissances requises pour la licence, font sans aucun doute partie de la culture mathématique d'un étudiant plus avamcé.
La partie suivante du livre est une introduction à la théorie de Galois qui fait le lien entre la théorie des groupes et celle des corps et traite de la question de la résolubilité des équations polynomiales. C'est, à notre avis, la plus belle et la plus profonde théorie algébrique que l'on puisse enseigner à ce niveau-là. Il est hors de question d'en donner un exposé liste d'exercices - plus de deux cent cinquanteen tout qui sont de trois sortes : Les premiers sont de simples applications ou vérifications de la théorie exposée. Les seconds sont précédés d'une étoile (*) et exigent soit plus de réflexion, soit des calculs plus élaborés et sont en général accompagnés d'une indication qui en facilite la solution. Les derniers, précédés de deux étoiles (**), mentionnent des prolongements des connaissances exposées dans ce livre et sont accompagnés d'une référence bibliographique où l'on trouvera les informations nécessaires.
Title : Invitation à l'algèbre - Théorie des groupes, des anneaux, des corps et des modules
author(s) : Alain Jeanneret, Daniel Lines
size : 2 Mb
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